编程将假分式化为真分式的方法

假分式是指分子次数高于分母次数的有理函数，如$\frac{x^2 2x}{x 1}$。真分式是指分子次数小于分母次数的有理函数，如$\frac{2}{x 1}$。在计算有理函数的积分、极限和导数时需要将假分式化为真分式。

假分式的一般形式为$\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$是多项式，且$Q(x)$的次数大于$P(x)$的次数。要将假分式化为真分式，需要进行部分分式拆分。具体步骤如下：

1. 将分母$Q(x)$分解为一些不可约因式的乘积，如$Q(x)=(xa)(xb)^2$。

2. 对于每个不同的不可约因式$(xa)^n$，分解出$n$个部分分式$\frac{A_{1}}{(xa)} \frac{A_{2}}{(xa)^2} ... \frac{A_{n}}{(xa)^n}$。

3. 对于不同的不可约因式$(xb)^m$，分解出$m$个部分分式$\frac{B_{1}}{(xb)} \frac{B_{2}}{(xb)^2} ... \frac{B_{m}}{(xb)^m}$。

4. 将所有的部分分式加起来得到原函数的真分式。

例如，将假分式$\frac{x^2 2x}{x 1}$化为真分式的具体步骤如下：

1. 分母$x 1$无法分解。

2. 对于不可约因式$(x 1)$，分解出一个部分分式$\frac{A}{(x 1)}$。

3. 将部分分式加起来，得到$\frac{x^2 2x}{x 1}=x 1\frac{1}{x 1}$，这就是原假分式的真分式表示。

部分分式拆分技巧熟练掌握是解决假分式问题关键，下面我们总结几个常见的部分分式拆分技巧，希望能对您实践有帮助。

1. 线性因式

对于含有一次因式$(ax b)$的分母，设待定系数为$\frac{A}{ax b}$，将待定系数代入原方程中得：

$\frac{x^2 2x}{x 1}=\frac{A}{x 1} \frac{B}{x}$

解得$A=1,B=1$。

2. 重根

根据分母含有$(ax b)^2$这种形式，恰好有两个系数待定，设待定系数为$\frac{A}{ax b} \frac{C}{(ax b)^2}$，将待定系数代入原方程中得：

$\frac{x}{(x 1)^2}=\frac{A}{x 1} \frac{C}{(x 1)^2}$

解得$A=\frac{1}{x 1},C=\frac{1}{(x 1)^2}$。

3. 不重根

根据分母含有$(ax^2 bx c)$这种形式，得到下面的式子：

$\frac{2x 5}{x^22x3}=\frac{A}{x3} \frac{B}{x 1}$

令$x=3$，得到$A=1$；令$x=1$，得到$B=1$。

通过上面的示例已经演示了部分分式拆分技巧的应用，无论是只含有一次因式或有多项式的情况都可以采用类似的技巧解决。掌握基本的部分分式拆分技巧，就能在化简假分式时游刃有余。

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